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初中三年级数学

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首页 初中三年级数学知识 绝对值 平方差公式 二次根式的乘除 二次根式的加减 二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简 试题正文
  • 计算题
    计算下列各题
    （1）
    （2）
    （3）
    （4）已知，3＜x＜5，化简．
    本题信息：2012年福建省期中题数学计算题难度较难 来源:寇海燕（初中数学）
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本试题 “计算下列各题（1）（2）（3）（4）已知，3＜x＜5，化简．” 主要考查您对

绝对值

平方差公式

二次根式的乘除

二次根式的加减

二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简

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  • 绝对值
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  • 二次根式的加减
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绝对值定义：
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
绝对值的意义：
1、几何的意义：
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

2、代数的意义：
非负数（正数和0,）
非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.

绝对值的有关性质：
①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；
②绝对值等于0的数只有一个，就是0；
③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；
④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：
绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：
│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）
②整数就找到这两个数的相同因数；
③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；
④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。


表达式：
(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。
特点：
（1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边是乘方中两项的平方差。
注：
（1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

常见错误:
平方差公式中常见错误有：
①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）
②混淆公式；
③运算结果中符号错误；
④变式应用难以掌握。

注意事项:
1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。


二次根式的乘除法则：
1、二次根式的乘法原则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，相乘的结果是一个二次根式或有理式。
2、二次根式的除法原则：，即二次根式相除，就是把被被开方数相除，根指数不变。
有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二次根式加减法法则：
先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式。
1、同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：（1）；2+3=5（2）+2=3
4、注意：有括号时，要先去括号。
二次根式的加减注意:
①二次根式合并同类项与合并同类项类似,因此二次根式的加减可以对比整式的加减进行;
②二次根式加减混合运算的是指就是合并同类项二次根式,不是同类二次根式不能合并。如+是最简结果,不能再合并;
③二次根式进行加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如，不能写成5
④合并同类二次根式后若系数为多项式,须添加括号。
二次根式的加减乘除混合运算：
顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
②二次根式的加减乘除混合运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
③运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
二次根式的化简：
先对分子、分母因式分解，能约分的就约分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母有理化进行化简。

二次根式混合运算掌握：
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

二次根式化简方法：
二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
分母有理化：
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
（1）直接利用二次根式的运算法则：
例：
（2）利用平方差公式：
例：
（3）利用因式分解：
例：（此题可运用待定系数法便于分子的分解）

换元法（整体代入法）：
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式中，令，即可得到
原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8

提公因式法：
例：计算


巧构常值代入法：
例：已知x2-3x+1=0,求的值。
分析：已知形如ax2+bx+c=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax2+bx+c=0化为x+=，即先构造一个常数，再代入求值。
解：显然x≠0，x2-3x+1=0化为x+=3。
原式==2.


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