二次根式:我们把形如
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114425001.gif)
叫做二次根式。
二次根式必须满足:
含有二次根号“
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114444001.gif)
”;
被开方数a必须是非负数。
确定二次根式中被开方数的取值范围:
要是二次根式
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114509001.gif)
有意义,被开方数a必须是非负数,即a≥0,由此可确定被开方数中字母的取值范围。
二次根式性质:
(1)a≥0 ;
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114509001.gif)
≥0 (双重非负性 );
(2)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20120829/201208291306025041121.png)
;
(3)
0(a=0);
(4)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20120829/201208291306025601372.png)
;
(5)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20120829/201208291306025891602.png)
。
二次根式判定:
①二次根式必须有二次根号,如
,
等;
②二次根式
中,被开方数a可以是具体的一个数,也可以是代数式;
③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;
④二次根式
是一个非负数;
⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,
(a≥0 )就表示a的算术平方根。
二次根式的应用:
主要体现在两个方面:
(1)利用从特殊到一般,在由一般到特殊的重要思想方法,解决一些规律探索性问题;
(2)利用二次根式解决长度、高度计算问题,根据已知量,求出一些长度或高度,或设计省料的方案,以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算,其实就是化简求值。
二次根式的乘除法则:1、二次根式的乘法原则:
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114634001.gif)
,即两个二次根式相乘,根指数不变,相乘的结果是一个二次根式或有理式。
2、二次根式的除法原则:
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20110419/20110419114701001.gif)
,即二次根式相除,就是把被被开方数相除,根指数不变。
有理化根式:如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二次根式加减法法则:
先把式子中各项二次根式化成最简二次根式,然后再合并同类二次根式。
1、同类二次根式
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。
例如:(1);2
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225448421.png)
+3
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225510421.png)
=5
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225568421.png)
(2)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225657393.png)
+2
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225717393.png)
=3
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731104225775393.png)
4、注意:有括号时,要先去括号。
二次根式的加减注意:①二次根式合并同类项与合并同类项类似,因此二次根式的加减可以对比整式的加减进行;
②二次根式加减混合运算的是指就是合并同类项二次根式,不是同类二次根式不能合并。如
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+
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731110104757418.png)
是最简结果,不能再合并;
③二次根式进行加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731110104921421.png)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731110106241218.png)
,不能写成5
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731110106326362.png)
![](http://static.haoskill.com/upload/zsd/20130731/20130731110106241218.png)
④合并同类二次根式后若系数为多项式,须添加括号。