本试题 “如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=72 °。(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,...” 主要考查您对三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
尺规作图
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
巧计方法:点到线段两端距离相等。
三角形中线性质定理:
1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长:
ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ;
mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ;
mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)
3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容:三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
角平分线线定理:
定理1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,
如:在△ABC中,BD平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC
注:定理2的逆命题也成立。
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等!(即内心)。
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
方法一:
1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。
3、连接这两个交点。
原理:等腰三角形的高垂直等分底边。
方法二:
1、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线,得到两个交点。原理:圆的半径处处相等。
2、连接这两个交点。原理:两点成一线。
垂直平分线的概念:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
尺规作图简史:
“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳,右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.
古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用,而忽视规矩的实用价值.因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺规作图问题.所谓尺规作图,就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被判处死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制,使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题:立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家,都曾着力于研究这三大问题,虽然借助于其他工具或曲线,这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿.以后两千年来,无数数学家为之绞尽脑汁,都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案.
与“如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=72 °。(1)用直尺和圆规作∠A...”考查相似的试题有: