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初中三年级数学

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    在一次数学兴趣小组的活动课上,师生有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.
    老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:
    (x2-x)2-(x2-x)+12=0
    学生甲:老师,这个方程先去括号,再合并同类项,行吗?
    老师:这样,原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0,次数变成了4次,用现有知识无法解答.同学们再观察观察,看看这个方程有什么特点?
    学生乙:老师,我发现x2-x是整体出现的,最好不要去括号!
    老师:很好,我们把x2-x看成一个整体,用y表示,即x2-x=y,那么原方程就变为y2+8y+12=0.
    全体学生:(同学们都特别高兴)噢,这不是我们熟悉的一元二次方程吗?!
    老师:大家真会观察和思考,太棒了!显然一元二次方程y2+8y+12=0的根是y1=6,y2=2,那么就有x2-x=6或x2-x=2.
    学生丙:对啦,再解这两个方程,可得原方程的根x1=3,x2=-2,x3=2,x4=-1,嗬,有这么多根啊!
    老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法.在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数,这是一种重要的转化方法.
    全体同学:OK,换元法真神奇!
    现在,请你用换元法解下列分式方程:
    本题信息:2009年河北省期末题数学解答题难度较难 来源:李春莉
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本试题 “在一次数学兴趣小组的活动课上,师生有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:(x2-x)2-(x2-x)+12=0学生甲:...” 主要考查您对

解分式方程

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  • 解分式方程
解法:
解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,其一般步骤是:
(1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母,把分式方程转化为整式方程。
(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
(2)解方程:解整式方程,得到方程的根;
(3)验根:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
否则,这个解不是原分式方程的解,是原分式方程的增根。
如果分式本身约分了,也要带进去检验。
在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
注意:
(1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
(3)増根使最简公分母等于0。

分式方程的特殊解法:
换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
解分式方程注意:
①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解;
②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项;
③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤。