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初中三年级数学

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首页 初中三年级数学知识 相似三角形的判定 平行线分线段成比例 试题正文
  • 单选题
    如图，AB∥CD，AD交BC于点O，OA：OD=1：2，则下列结论：（1）（2）CD=2AB     （3）S△OCD=2S△OAB其中正确的结论是

    [     ]

    A．（1）（2）
    B．（1）（3）
    C．（2）（3）
    D．（1）（2）（3）
    本题信息：2012年福建省月考题数学单选题难度一般 来源:郭峰禄
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本试题 “如图，AB∥CD，AD交BC于点O，OA：OD=1：2，则下列结论：（1）（2）CD=2AB （3）S△OCD=2S△OAB其中正确的结论是[ ]A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．...” 主要考查您对

相似三角形的判定

平行线分线段成比例

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  • 相似三角形的判定
  • 平行线分线段成比例
相似三角形：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'

相似三角形的判定：
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：
（1）.两个全等的三角形
（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）
（2）.两个等腰三角形
（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　
（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。


相似三角形判定方法：
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 
四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc

易失误
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

证明思路:
该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点

法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

AM=DP，AN=DQ
AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/AN
DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ
又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF
根据比例的性质：
AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
∴AB/BC=DE/EF

法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.

∵ BE∥CF
∴△ABM∽△ACN.
∴AB/AC=AM/AN
∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
∴AB/BC=DE/EF

法3：连结AE、BD、BF、CE

根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：
AB/BC=DE/EF
由更比性质、等比性质得：
AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF


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