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初中三年级数学

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    如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD,已知BD=2,AD=3。
    求:(1)tanC;
    (2)图中两部分阴影面积的和。

    本题信息:2011年福建省中考真题数学解答题难度极难 来源:叶新丽
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本试题 “如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD,已知BD=2,AD=3。求:(1)tanC;(2)图中两部分阴影面积...” 主要考查您对

直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)

扇形面积的计算

锐角三角函数的定义

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  • 直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)
  • 扇形面积的计算
  • 锐角三角函数的定义

直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)


直线与圆的三种位置关系的判定与性质:
(1)数量法:通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定,
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有:
直线l与⊙O相交d<r;
直线l与⊙O相切d=r;
直线l与⊙O相离d>r;
(2)公共点法:通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点;
直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点;
直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

圆的切线的判定和性质   
(1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
直线与圆的位置关系判定方法:
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程
如果b2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2
令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1<x2,那么: 
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离;
当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交。 
扇形:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
显然,它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
扇形面积公式:
(其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。)
设半径R,
1.已知圆心角弧度α(或者角度n)
面积S=α/(2π)·πR2=αR2/2
S=(n/360)·πR2
2.已知弧长L:
面积S=LR/2

锐角三角函数
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指:我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为:正弦(sin),余弦(cos),正切(tan)。
正弦:在直角三角形中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
余弦:在直角三角形中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
正切:在直角三角形中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。


锐角三角函数的增减性:
1.锐角三角函数值都是正值
2.当角度在0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
3.当角度在0°≤A≤90°间变化时,0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0;当角度在0°<A0, cotA>0。

锐角三角函数的关系式:
同角三角函数基本关系式
tanα·cotα=1
sin2α·cos2α=1
cos2α·sin2α=1
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
(sinα)2+(cosα)2=1
1+tanα=secα
1+cotα=cscα

诱导公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)

二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式
Sin(2α)=2sinαcosα
Cos(2α)=(cosα)2-(sinα)2=2(cosα)2-1=1-2(sinα)2
Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
sin(3α)=3sinα-4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)=4cos3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
和差化积、积化和差公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
sinαcosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2