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    设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量为ξ.
    (1)当p=q=
    1
    2
    时,求数学期望E(ξ)及方差V(ξ);
    (2)当p+q=1时,将ξ的数学期望E(ξ)用p表示.
    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量为ξ.(1...” 主要考查您对

概率的基本性质(互斥事件、对立事件)

离散型随机变量的期望与方差

二项分布

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  • 概率的基本性质(互斥事件、对立事件)
  • 离散型随机变量的期望与方差
  • 二项分布

互斥事件:

事件A和事件B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1,A2,…,An中任何两个都不可能同时发生,那么就说事件A1,A2,…An彼此互斥。

对立事件:

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记做
注:两个对立事件必是互斥事件,但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式:

(1)事件A+B:如果事件A,B中有一个发生发生。
(2)如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
(3)对立事件:P(A+)=P(A)+P()=1。


概率的几个基本性质:

(1)概率的取值范围:[0,1].
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)互斥事件的概率的加法公式:
如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件A,B对立事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)=1。


互斥事件与对立事件的区别和联系:

互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生。因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。


数学期望的定义:

为ξ的数学期望或平均数,均值,数学期望又简称为期望,它反映了随机变量取值的平均水平。

方差的定义:

为ξ的均方差,简称为方差,叫做随机变量ξ的标准差,记作:


期望与方差的性质:

(1)
(2)若η=aξ+b,则
(3)若,则
(4)若ξ服从几何分布,则


求均值(数学期望)的一般步骤:

(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布,若服从,则直接用公式求均值.(2)若不服从特殊的分布,则先求出随机变量的分布列,再利用公式求均值。

方差的求法:

(1)若随机变量X服从二点分布或二项分布,则直接利用方差公式可求.
(2)若随机变量X不服从特殊的分布时,求法为:


二项分布:

一般地,在n次独立重复的试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则,k=0,1,2,…n,
此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并记

独立重复试验:

(1)独立重复试验的意义:做n次试验,如果它们是完全同样的一个试验的重复,且它们相互独立,那么这类试验叫做独立重复试验.
(2)一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每件试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布,记作 并称p为成功概率.
(3)独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
(4)独立重复试验概率公式的特点:是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率.其中,n是重复试验的次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数,需要弄清公式中n,p,k的意义,才能正确运用公式.


二项分布的判断与应用:

(1)二项分布,实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述,判断二项分布,关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验,且每次试验只有两种结果,如果不满足这两个条件,随机变量就不服从二项分布.
(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果时,我们可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.

求独立重复试验的概率:

(1)在n次独立重复试验中,“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,即2,…,n)是第i次试验的结果.
(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,要弄清n,p,k的意义。

求二项分布:

二项分布是概率分布的一种,与独立重复试验密切相关,解题时要注意结合二项式定理与组合数等性质。


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