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    右表是某班英语及数学成绩的分布表,已知该班有50名学生,成绩分1至5个档次.如:表中所示英语成绩为4分,数学成绩为2分的学生有5人.现设该班任意一位学生的英语成绩为m,数学成绩为n.
    n
    m
    数  学
    5 4 3 2 1

     
    5 1 3 1 0 1
    4 1 0 7 5 1
    3 2 1 0 9 3
    2 1 b 6 0 a
    1 0 0 1 1 3
    (1)求m=4,n=3的概率;
    (2)求在m≥3的条件下,n=3的概率;
    (3)求a+b的值,并求m的数学期望;
    (4)若m=2与n=4是相互独立的,求a,b的值.
    本题信息:2005年杭州二模数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “右表是某班英语及数学成绩的分布表,已知该班有50名学生,成绩分1至5个档次.如:表中所示英语成绩为4分,数学成绩为2分的学生有5人.现设该班任意一位学生的...” 主要考查您对

概率的基本性质(互斥事件、对立事件)

古典概型的定义及计算

离散型随机变量的期望与方差

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  • 概率的基本性质(互斥事件、对立事件)
  • 古典概型的定义及计算
  • 离散型随机变量的期望与方差

互斥事件:

事件A和事件B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1,A2,…,An中任何两个都不可能同时发生,那么就说事件A1,A2,…An彼此互斥。

对立事件:

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记做
注:两个对立事件必是互斥事件,但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式:

(1)事件A+B:如果事件A,B中有一个发生发生。
(2)如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
(3)对立事件:P(A+)=P(A)+P()=1。


概率的几个基本性质:

(1)概率的取值范围:[0,1].
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)互斥事件的概率的加法公式:
如果事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A1,A2,…An彼此互斥时,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件A,B对立事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)=1。


互斥事件与对立事件的区别和联系:

互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生。因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。


基本事件的定义:

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

等可能基本事件:

若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件。

古典概型:

如果一个随机试验满足:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件的发生都是等可能的;
那么,我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.

古典概型的概率:

如果一次试验的等可能事件有n个,那么,每个等可能基本事件发生的概率都是;如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为


古典概型解题步骤:

(1)阅读题目,搜集信息;
(2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件;
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;
(4)用公式求出概率并下结论。

求古典概型的概率的关键:

求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。


数学期望的定义:

为ξ的数学期望或平均数,均值,数学期望又简称为期望,它反映了随机变量取值的平均水平。

方差的定义:

为ξ的均方差,简称为方差,叫做随机变量ξ的标准差,记作:


期望与方差的性质:

(1)
(2)若η=aξ+b,则
(3)若,则
(4)若ξ服从几何分布,则


求均值(数学期望)的一般步骤:

(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布,若服从,则直接用公式求均值.(2)若不服从特殊的分布,则先求出随机变量的分布列,再利用公式求均值。

方差的求法:

(1)若随机变量X服从二点分布或二项分布,则直接利用方差公式可求.
(2)若随机变量X不服从特殊的分布时,求法为:


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