本试题 “下列说法错误的个数是①无理数是无限小数； ②的平方根是； ③对角线相等的菱形是正方形；④；⑤任意三角形不能够进行密铺；⑥与数轴上的点一一对应的数是实数。[ ]...” 主要考查您对无理数的定义
实数的定义
平方根
正方形，正方形的性质，正方形的判定
平面图形的平铺和镶嵌
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- 无理数的定义
- 实数的定义
- 平方根
- 正方形，正方形的性质，正方形的判定
- 平面图形的平铺和镶嵌
即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
无理数是无限不循环小数。如圆周率π、
等。无理数性质：
无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数
性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数
性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数
无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如：4=4.0，
=0.8，
=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，
比如：
=1.414213562…………根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。
无理数的识别：
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
初中常见的无理数有三种类型：
（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
（2）化简后含π的式子；
（3）不循环的无限小数。
掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。
无理数的历史：
毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数的定义分析：
1.实数可以分为有理数（如31、
）和无理数（如π、
）两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。
3.理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。
4.通常把正实数和零合称为分负数，把负实数和零合称为非正数。
5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。
实数的性质：
1.基本运算：
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：
交换律：a+b=b+a , ab=ba
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
分配律：a(b+c)=ab+ac
2.实数的相反数：
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。
实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
3.实数的绝对值：
实数的绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同。一个正实数的绝对值等于它本身；
一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是 ：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变）
②a为0时， |a|=0
③a为负数时，|a|= a（为a的相反数）
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)
4实数的倒数：
实数的倒数与有理数的倒数一样，如果a表示一个非零的实数，那么实数a的倒数是：1/a （a≠0）
实数的分类：
（1）按定义分类：
正整数
整数 ｛ 零
负整数
有理数｛ ｝有限小数或无限循环小数
真分数
分数｛
实数｛ 负分数
正无理数
无理数｛ ｝无限不循环小数
负无理数
（2）按性质分类：
正整数
正有理数｛
正实数｛ 正分数
正无理数
实数｛ 零 负整数
负有理数｛
负实数｛ 负分数
负无理数
如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a≥0。
表示：一个正数有两个平方根，用
表示平方根中正的那个，用-
表示负的平方根。性质：
①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
②如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a
的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
③规定：0的平方根是0。
④负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为±1，-9的平方根为±3。
⑤平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即正负根号a=正负x
1 至 20 的平方根：
利用长式除法可以求平方根。长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。 利用高精度长式除法可以计算出 1 至 20 的 平方根如下：
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=1 |
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≈1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462 |
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≈1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016909 |
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=2 |
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≈2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638 |
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≈2.449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457 |
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≈2.645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230 |
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≈2.828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924 |
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=3 |
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≈3.162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639 |
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≈3.316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609 |
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≈3.464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033818 |
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≈3.605551275463989293119221267470495946251296573845246212710453056227166948293 |
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≈3.741657386773941385583748732316549301756019807778726946303745467320035156307 |
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≈3.872983346207416885179265399782399610832921705291590826587573766113483091937 |
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≈4 |
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≈4.123105625617660549821409855974077025147199225373620434398633573094954346338 |
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≈4.242640687119285146405066172629094235709015626130844219530039213972197435386 |
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≈4.358898943540673552236981983859615659137003925232444936890344138159557328203 |
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≈4.472135954999579392818347337462552470881236719223051448541794490821041851276 |
其中，有两数的根号可借由“口诀”记忆：
（意思意思而已），
（一妻三儿、一起散热）。有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
特殊的长方形。
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形。
对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
正方形的性质：
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
8、正方形是特殊的长方形。
正方形的判定：
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
有关计算公式：
若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
正方形周长计算公式: C=4a 。
S正方形=
。（正方形边长为a，对角线长为b）
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌。
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形。
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌。
与“下列说法错误的个数是①无理数是无限小数； ②的平方根是； ③对...”考查相似的试题有：
- 在实数、、、、0．1010010001…中，无理数有（ ）．
- 下列实数5，3.14，-3-64，0.2020020002…，227，1.•5•6，π，其中有理数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个
- 在实数中π，-25，0，3，-3.14，4无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
- 下列各数：12，0.•3•2，π，5，227中是无理数的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
- 计算：（5-1）0+|1-3|+3tan60°-22-48．
- 12的平方根是______．
- 4x2=25。
- P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，若，则点P到AB、BC的距离之和为（ ）．
- 下列命题中，假命题是（ ）A．矩形的对角线相等B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直D．梯形的对角线互相...
- 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为（ ）A．4B．17C．16D．55