实数定义:
实数由有理数和无理数组成,其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数的定义分析:1.实数可以分为有理数(如31、
)和无理数(如π、
)两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类。
2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。
3.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。
在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。
4.通常把正实数和零合称为分负数,把负实数和零合称为非正数。
5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。
实数的性质:
1.基本运算:
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用:
交换律:a+b=b+a , ab=ba
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
分配律:a(b+c)=ab+ac
2.实数的相反数:
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数,它们的和为零,我们就说其中一个是另一个的相反数。
实数a的相反数是-a,a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
3.实数的绝对值:
实数的绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同。一个正实数的绝对值等于它本身;
一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是 :|a|
①a为正数时,|a|=a(不变)
②a为0时, |a|=0
③a为负数时,|a|= a(为a的相反数)
(任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的。)
4实数的倒数:
实数的倒数与有理数的倒数一样,如果a表示一个非零的实数,那么实数a的倒数是:1/a (a≠0)
实数的分类:
(1)按定义分类:
正整数
整数 { 零
负整数
有理数{ }有限小数或无限循环小数
真分数
分数{
实数{ 负分数
正无理数
无理数{ }无限不循环小数
负无理数
(2)按性质分类:
正整数
正有理数{
正实数{ 正分数
正无理数
实数{ 零 负整数
负有理数{
负实数{ 负分数
负无理数
概念:
若一个正数x的平方等于a,即x
2=a,则这个正数x为a的算术平方根。
规定:0的算术平方根是0。
表示:a的算术平方根记为
,读作“根号a”。
注:只有非负数有算术平方根,而且只有一个算术平方根。
平方根和算术平方根的区别与联系:区别:
(1)定义不同:如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。
(3)表示方法不同:正数a的平方根表示为±
,正数a的算术平方根表示为
。
(4)取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根一正一负,两数互为相反数。
联系:
(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种,是正的平方根。
(2)存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根。
(3)0的平方根,算术平方根均为0。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
注:
(1)平方和开平方的关系是互为逆运算;
(2)乘方是求根的途径,开平方是一种运算,是求平方根的过程;
(3)开方的方式是根号形式。
电脑根号的打法: 比较通用:
左手按住换档键(Alt键)不放,接着依次按41420然后松开左手,根号√ ̄就出来了。
运用Word的域命令在Word中根号:
首先按住Ctrl+F9,出现{}后,在{}内输入EQ空格
(开方次数,根号内的表达式),最后按住Shift+F9,就会生成你所要求的根式
1.平方根
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。比如 9 的平方根是3,-3。而5的平方根是√5,-√5。规定,零的平方根是0。负数没有平方根。
2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定,零的算术平方根是0。
算术平方根是定义在平方根基础上,因此负数没有算术平方根。
3.实数a的算术平方根记作√ ̄a,其中a≥0,根据以上定义有√ ̄a≥0。