勾股定理:
直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。
定理作用
⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
勾股定理的应用：
数学
从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

生活
勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
2、2005年珠峰高度复测行动。
测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
通俗来说，就是分三步走：
第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。

直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d<r；
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

圆的切线的判定和性质   
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
直线与圆的位置关系判定方法:
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为（x-a）²+（y-b）²=r²。
令y=b，求出此时的两个x值x₁、x₂，并且规定x₁<x₂，那么： 
当x=-C/A<x₁或x=-C/A>x₂时，直线与圆相离；
当x_¹<x=-C/A<x₂时，直线与圆相交。