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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 圆的切线方程 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率） 试题正文
  • 解答题
    已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n)，
    (1)当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
    (2)直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
    本题信息：2011年同步题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n)，(1)当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线AB与⊙P能否...” 主要考查您对

圆的切线方程

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

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  • 圆的切线方程
  • 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

圆的切线方程：

1、已知圆，
（1）若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是；
（2）当圆外时，表示过两个切点的切点弦方程。
（3）过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线。
（4）斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b，必有两条切线。
2、已知圆，
（1）过圆上的点的切线方程为；
（2）斜率为k的圆的切线方程为。


圆的切线方程的求法：

①代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个交点，将直线方程代入圆的方程，从而△=0，可求解；
②几何法利用几何特征：圆心到切线的距离等于圆的半径，可求解．

过定点的圆的切线方程：

①过圆上一点的切线方程：
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是

②过圆外一点的切线方程：设外一点，求过P0点的圆的切线．
方法l：设切点是，解方程组

求出切点P1的坐标，即可写出切线方程。
方法2：设切线方程是 ，再由 求出待定系数k，就可写出切线方程.
特别提醒:一般说来，方法2比较简便，但应注意，可能遗漏k不存在的切线．因此，当解出的k值唯一时，应观察图形，看是否有垂直于x轴的切线．

 椭圆的离心率：

椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。


椭圆的性质：

1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：； 
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
。


利用椭圆的几何性质解题：

利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法：

求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．

椭圆中离心率的求法：

在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．


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