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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 直线与圆的位置关系 简单曲线的极坐标方程 试题正文
  • 解答题
    已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R），曲线C1、C2相交于A、B两点，
    (1)把曲线C1、C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
    (2)求弦AB的长度．
    本题信息：2011年模拟题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R），曲线C1、C2相交于A、B两点，(1)把曲线C1、C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的...” 主要考查您对

直线与圆的位置关系

简单曲线的极坐标方程

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  • 直线与圆的位置关系
  • 简单曲线的极坐标方程

直线与圆的位置关系：

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
其图像如下：


直线和圆的位置关系的性质：

（1）直线l和⊙O相交d＜r
（2）直线l和⊙O相切d=r；
（3）直线l和⊙O相离d＞r。


直线与圆位置关系的判定方法：

(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由
 
推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．
△>0则直线与圆相交；
△=0则直线与圆相切；
△<0则直线与圆相离．
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交；
d=r则直线和圆相切；
d>r则直线和圆相离．
特别提醒:
(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．
(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.

直线与圆位置关系的判定方法列表如下：

直线与圆相交的弦长公式：

（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|=

（2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有
当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=


曲线的极坐标方程的定义：

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）=0，并且坐标适合方程f（ρ，θ）=0的点都在曲线上，那么方程f（ρ，θ）=0叫做曲线C的极坐标方程。


求曲线的极坐标方程的常用方法：

直译法、待定系数法、相关点法等。

圆心为（α，β）（a＞0），半径为a的圆的极坐标方程为，此圆过极点O。

直线的极坐标方程：

直线的极坐标方程是ρ=1/（2cosθ＋4sinθ）。

圆的极坐标方程：


这是圆在极坐标系下的一般方程。
 
过极点且半径为r的圆方程：
 
 

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