本试题 “如图已知直线L:,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。(1)求点A、点B的坐标。(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不...” 主要考查您对一次函数的图像
求二次函数的解析式及二次函数的应用
直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)
尺规作图
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
一次函数的图象:一条直线,过(0,b),(,0)两点。
性质:
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。
k,b决定函数图像的位置:
y=kx时,y与x成正比例:
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时,直线必通过第一、二象限;
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。
当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)一次函数的
二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤:
二次函数
∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
能熟练地运用二次函数解决实际问题。
二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
点拨:
解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),
∵过点(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1)。
解得a=2,
∴抛物线的解析式为:
y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4。
②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
点拨:
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。
2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
点拨:
解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。
把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。
②典型例题二:
如果a>0,那么当 时,y有最小值且y最小=;
如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=。
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
点拨:
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例如:
(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.
④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨:
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)
尺规作图简史:
“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳,右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.
古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用,而忽视规矩的实用价值.因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺规作图问题.所谓尺规作图,就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被判处死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制,使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题:立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家,都曾着力于研究这三大问题,虽然借助于其他工具或曲线,这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿.以后两千年来,无数数学家为之绞尽脑汁,都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案.
与“如图已知直线L:,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。(1)...”考查相似的试题有: