本试题 “下图是一个几何体的三视图,根据图中信息解答下列问题:(1)说出该几何体的名称,并画出它的直观图(只需画出图形即可);(2)求该几何体的体积和表面积。” 主要考查您对柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的直观图及画法(斜二测画法)
柱体、椎体、台体的表面积与体积
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棱柱:
(1)概念:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面,其余各个面都叫棱柱的侧面,两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱,棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
(2)分类:①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
②按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形…、分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…
棱锥:
(1)概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各个面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面,棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面,棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱,棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高,过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
(2)分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…
(3)正棱锥的概念:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
圆柱的概念:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
旋转轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
圆锥的概念:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体;
圆台的概念:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分;
球的定义:
第一定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体,简称球。
半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
第二定义:球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球的截面与大圆小圆:
截面:用一个平面去截一个球,截面是圆面;
大圆:过球心的截面圆叫大圆,大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离:是过这两点大圆的劣弧长;
小圆:不过球心的截面圆叫小圆。
棱柱的性质:
①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质:
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
正棱锥性质:
①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等;
②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
圆柱的几何特征:
①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
圆锥的几何特征:
①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
圆台的几何特征:
①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
球的截面的性质:
性质1:球心和截面圆心的连线垂直于截面;
性质2:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系:r2=R2-d2.
空间图形的直观图:
用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图
斜二测画法:
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。
斜二测画法:
(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′和y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面;
(2)在已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段;
(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半。
已知三视图画直观图的方法:
在工程技术中,为了全面展示图纸上的几何体的特征和尺寸,常给出三视图,而要清晰地观察到其效果,则需将其转化为直观图(具有空间立体感).在由三视图转化为直观图时,先由三视图确定几何体的长、宽、高.比较常见几何体的三视图,从而得到正确的直观图.
已知直观图画三视图的方法:
在由直观图画三视图时先由与投影面平行或垂直的线段确定三视图的顶点,与投影面平行的线段投影的长度不变,与投影面垂直的线段投影后是一个点.
依据斜二测画法求直观图面积:
求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和高,也就是在原来实际图形中的高线,在直观图中变为与水平直线成450角且长度变为原来的一半的线段,以此为依据来求出相应的高线即可.将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.
斜二测画法:
(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′和y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面; (2)在已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段;
(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半。
立体图形的直观图的画法:
画立体图形的直观图时,主要有下面几个步骤:
(l)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴,z′轴过点o′,且与x'轴夹角为900,并画高线(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.
(3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示。
特别提醒(l)画立体图形的直观图的要求不高,只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可.(2)画立体图形与画水平放置的平面图形相比多
侧面积和全面积的定义:
(1)侧面积的定义:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图的面积,就是空间几何体的侧面积.
(2)全面积的定义:空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积,
柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长,h为高,h′为斜高,l为母线)
柱体、锥体、台体的体积公式:
多面体的侧面积与体积:
多面体 | 图像 | 侧面积 | 体积 |
棱柱 |
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直棱柱的侧面展开图是矩形 |
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棱锥 |
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正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形, |
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棱台 |
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正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形, |
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旋转体的侧面积和体积:
旋转体 | 图形 | 侧面积与全面积 | 体积 |
圆柱 |
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圆柱的侧面展开图的矩形: |
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圆锥 |
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圆锥的侧面展开图是扇形: |
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圆台 |
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圆台的侧面展开图是扇环: |
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球 |
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与“下图是一个几何体的三视图,根据图中信息解答下列问题:(1)...”考查相似的试题有: