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首页 初中数学知识 三角形的内心、外心、中心、重心 垂直于直径的弦 直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离） 命题，定理 试题正文
  • 单选题
    下列命题中，为真命题的是（   ）
    A．长度相等的弧所对的圆心角相等
    B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
    C．过弦的中点的直线必过圆心
    D．三角形的外心到三个顶点的距离相等

    本题信息：2003年郴州数学单选题难度容易 来源:未知
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本试题 “下列命题中，为真命题的是（ ） A．长度相等的弧所对的圆心角相等 B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 C．过弦的中点的直线必过圆心 D．三角形的外心到三个...” 主要考查您对

三角形的内心、外心、中心、重心

垂直于直径的弦

直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

命题，定理

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  • 三角形的内心、外心、中心、重心
  • 垂直于直径的弦
  • 直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）
  • 命题，定理
三角形的四心定义：
1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：
1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
3.锐角三角形的外心在三角形内；
钝角三角形的外心在三角形外；
直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6.S△ABC=abc/4R

三角形的内心的性质：
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S/(a+b+c)
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

三角形的垂心的性质:
1.锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

三角形的重心的性质:
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3  纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形旁心的性质:
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注：
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

垂径定理的推论：
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心


直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）


直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d<r；
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

圆的切线的判定和性质   
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
直线与圆的位置关系判定方法:
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交。 
命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的概念包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

公理：
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

定理：
通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。

经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

命题的分类：
（按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

四种命题：
1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

相互关系：
1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
2．四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

定理结构：
定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
逆定理：
若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B，否则通常都是倒果为因，不合常理。若某叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。


常用数学定理：
1、每份数×份数=总数
总数÷每份数=份数
总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1倍数=倍数
几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5 、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6 、加数+加数=和
和－一个加数=另一个加数
7 、被减数－减数=差
被减数－差=减数
差+减数=被减数
8 、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、 被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数

小学数学图形计算公式：
1 、正方形 C周长 S面积 a边长
周长=边长×4 ；C=4a;
面积=边长×边长； S=a×a
2 、正方体 V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6； S棱=a×a×6 ；
体积=棱长×棱长×棱长； V=a×a×a
3、 长方形 C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b) ；
面积=长×宽 ；S=ab
4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2； S=2(ab+bc+ca)；
体积=长×宽×高 ；V=abc
5、 三角形 s面积 a底 h高
面积=底×高÷2 ；s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6、 平行四边形 s面积 a底 h高
面积=底×高 s=ah
7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2；s=(a+b)× h÷2
8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
周长=直径×∏=2×∏×半径； C=∏d=2∏r ；
面积=半径×半径×∏
9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
侧面积=底面周长×高；
表面积=侧面积+底面积×2 ；
体积=底面积×高 ；
体积=侧面积÷2×半径
10、 圆锥体 v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3


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