本试题 “已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都与以点A(2,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个定点A1与点A关于直线y=x对称,求双曲线C的标准方程______.” 主要考查您对直线与圆的位置关系
双曲线的标准方程及图象
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直线与圆的位置关系:
由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
其图像如下:
直线和圆的位置关系的性质:
(1)直线l和⊙O相交d<r
(2)直线l和⊙O相切d=r;
(3)直线l和⊙O相离d>r。
直线与圆位置关系的判定方法:
(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由
推出mx2+nx+p=0,利用判别式△进行判断.
△>0则直线与圆相交;
△=0则直线与圆相切;
△<0则直线与圆相离.
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆,圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交;
d=r则直线和圆相切;
d>r则直线和圆相离.
特别提醒:
(1)上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷,而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.
(2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.
直线与圆位置关系的判定方法列表如下:
直线与圆相交的弦长公式:
(1)几何法:如图所示,直线l与圆C相交于A、B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|=
(2)代数法:直线l与圆交于直线l的斜率为k,则有
当直线AB的倾斜角为直角,即斜率不存在时,|AB|=
双曲线的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在x轴上:;
(2)中心在原点,焦点在y轴上:。
双曲线的图像:
(1)焦点在x轴上的双曲线的图像
;
(2)焦点在y轴上的双曲线的图像
。
判断双曲线的焦点在哪个轴上:
判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.
定义法求双曲线的标准方程:
求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,
待定系数法求双曲线的标准方程:
在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.
利用双曲线的性质求解有关问题:
要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即
几种特殊的双曲线:
等轴双曲线 | 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直 |
共轭双曲线 |
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共渐近线的双曲线 |
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与“已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都与以点A(2,0)为圆心...”考查相似的试题有: