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初中一年级数学

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首页 初中一年级数学知识 角平分线的定义 三角形的周长和面积 全等三角形的性质 轴对称 试题正文
  • 解答题
    （A类）如图1，矩形ABCD沿着BE折叠后，点C落在AD边上的点F处．如果∠ABF=50°，求∠CBE的度数．
    （B类）如图2，在△ABC中，已知AC=8cm，AB=6cm，E是AC上的点，DE平分∠BEC，且DE⊥BC，垂足为D，求△ABE的周长．
    （C类）如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．

    本题信息：2011年宁夏自治区期末题数学解答题难度较难 来源:任丽华
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本试题 “（A类）如图1，矩形ABCD沿着BE折叠后，点C落在AD边上的点F处．如果∠ABF=50°，求∠CBE的度数．（B类）如图2，在△ABC中，已知AC=8cm，AB=6cm，E是AC上的点，DE平...” 主要考查您对

角平分线的定义

三角形的周长和面积

全等三角形的性质

轴对称

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  • 角平分线的定义
  • 三角形的周长和面积
  • 全等三角形的性质
  • 轴对称
角的平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角平分线的性质：
角平分线上的点，到角两边的距离相等
定理：
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：
到角两边的距离相等的点在角平分线上。


三角形的概念：
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

构成三角形的元素：
边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段；
（2）三条线段不在同一直线上；
（3）首尾顺次相接。

三角形的表示：
用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。
三角形的分类：
（1）三角形按边的关系分类如下：
；
（2）三角形按角的关系分类如下：

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
三角形的周长和面积：
三角形的周长等于三角形三边之和。
三角形面积=（底×高）÷2。
全等三角形：
两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的，公共边一定是对应边;
④有公共角的，角一定是对应角;
⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

全等三角形的性质：
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。



轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等；
（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。


轴对称的判定：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
这样就得到了以下性质：
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用:
可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用:
关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。


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