本试题 “如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD 的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是[ ]A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四...” 主要考查您对等边三角形
菱形,菱形的性质,菱形的判定
梯形,梯形的中位线
位似
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性质:
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法:
①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解:
首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法:
可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
菱形的性质:
①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角;
③菱形的四条边都相等;
④菱形既是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线),也是中心对称图形(对称中心是其重心,即两对角线的交点);
⑤在有一个角是60°角的菱形中,较短的对角线等于边长,较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。
菱形的判定:
在同一平面内,
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,而且是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。
梯形性质:
①梯形的上下两底平行;
②梯形的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)平行于两底并且等于上下底和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
梯形判定:
1.一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
梯形中位线定理:
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
梯形中位线×高=(上底+下底)×高=梯形面积
梯形中位线到上下底的距离相等
中位线长度=(上底+下底)
梯形的周长与面积:
梯形的周长公式:上底+下底+腰+腰,用字母表示:a+b+c+d。
等腰梯形的周长公式:上底+下底+2腰,用字母表示:a+b+2c。
梯形的面积公式:(上底+下底)×高÷2,用字母表示:S=(a+b)×h。
变形1:h=2s÷(a+b);
变形2:a=2s÷h-b;
变形3:b=2s÷h-a。
另一计算梯形的面积公式: 中位线×高,用字母表示:L·h。
对角线互相垂直的梯形面积为:对角线×对角线÷2。
梯形的分类:
等腰梯形:两腰相等的梯形。
直角梯形:有一个角是直角的梯形。
等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
(2)等腰梯形的对角线相等。
(3)等腰梯形是轴对称图形。
等腰梯形的判定:
(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。
位似图形的性质:
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位似图形的对应角都相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
位似图形作用:
利用位似可以将一个图形任意放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
作图步骤:(位似比,即位似图形的相似比,指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比)
①首先确定位似中心,位似中心的位置可随意选择;
②确定原图形的关键点,如四边形有四个关键点,即它的四个顶点;
③确定位似比,根据位似比的取值,可以判断是将一个图形放大还是缩小;
④符合要求的图形不惟一,因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关,并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形,最好做两个。
位似变换:
把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用极为广泛,特别是可以证明三点共线等问题。
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