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初中三年级数学

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    已知二次函数y=(x﹣2a)2+(a﹣1)(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=﹣1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y=(    ).

    本题信息:2010年同步题数学填空题难度一般 来源:马明明
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本试题 “已知二次函数y=(x﹣2a)2+(a﹣1)(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=﹣1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶...” 主要考查您对

求一次函数的解析式及一次函数的应用

二次函数的图像

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  • 求一次函数的解析式及一次函数的应用
  • 二次函数的图像
待定系数法求一次函数的解析式:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

一次函数的应用:
应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
(1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
(2)注意自变量的取值范围。

用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
第四步(写):写出该函数的解析式。

一次函数的应用涉及问题:
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
合实际。

二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数

三、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

生活中的应用:

1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)


一次函数应用常用公式:
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
(x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)


二次函数的图像
是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴;
③有顶点;
④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

二次函数图像性质:
轴对称:

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号,对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号,对称轴在y轴右侧

顶点:
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

开口:
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。


决定对称轴位置的因素:
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定与y轴交点的因素:

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

与x轴交点个数:
a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k
当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数。
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