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初中三年级数学

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    如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF。

    求证:(1)PE=PF;
    (2)点P在∠BAC的角平分线上。
    本题信息:2009年湖南省中考真题数学证明题难度较难 来源:邵英娜
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本试题 “如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF。求证:(1)PE=PF;(2)点P在∠BAC的角平分线上。” 主要考查您对

全等三角形的性质

角平分线的性质

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  • 全等三角形的性质
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全等三角形:
两个全等的三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时,该两个三角形就是全等三角形。正常来说,验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证,最后便能得出结果。
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的,公共边一定是对应边;
④有公共角的,角一定是对应角;
⑤有对顶角的,对顶角一定是对应角。

全等三角形的性质:
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。



角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知,三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角,所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。


角平方线定理:
①角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
②角平分线能得到相同的两个角,都等于该角的一半。
③三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
④三角形的三个角的角平分线相交于一点,这个点称为内心 ,即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
逆定理:
在角的内部,到角两边的距离相等的点在角平分线上。


角平分线作法:
在角AOB中,画角平分线

方法一:
1.以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角AOB两边于点M,N。
2.分别以点M,N为圆心,以大于1/2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然,角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二:
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB,且使得OM=ON,OA=OB;
2.连接AN与BM,他们相交于点P;
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。