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初中三年级数学

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    某校组织了“展示美丽祖国”庆国庆60周年的自拍照片的评比活动,根据获奖同学在评比中的成绩制成的统计图表如下:

    根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
    (l)写出表中x,y的数值x=____,y=____;
    (2)补全所给的频数分布直方图;
    (3)如果评比成绩在95分以上(含95分)的可以获得特等奖,那么特等奖的获奖率是多少?
    (4)获奖成绩的中位数落在哪个分数段?
    本题信息:2010年北京模拟题数学解答题难度较难 来源:邵英娜
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本试题 “某校组织了“展示美丽祖国”庆国庆60周年的自拍照片的评比活动,根据获奖同学在评比中的成绩制成的统计图表如下:根据以上图表提供的信息,解答下列问题:(l)...” 主要考查您对

中位数和众数

直方图

条形图

统计表

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中位数:一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间位置的两个数据的平均数)叫这组数据的中位数。
众数:在一组数据中,出现次数最多的数据。
中位数的位置:
当样本数为奇数时,中位数=(N+1)/2;当样本数为偶数时,中位数为N/2与1+N/2的均值

众数性质:
用众数代表一组数据,可靠性较差,不过,众数不受极端数据的影响,并且求法简便。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
当数值或被观察者没有明显次序(常发生于非数值性资料)时特别有用,由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子:{鸡、鸭、鱼、鱼、鸡、鱼}的众数是鱼。
众数算出来是销售最常用的,代表最多的 
众数是在一组数据中,出现次数最多的数据 
两组数据中,都是1,2出现次数最多 
所以1,2是众数 
众数:
一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。
例如:1,2,3,3,4的众数是3。 
但是,如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的,那么这几个数都是这组数据的众数。
例如:1,2,2,3,3,4的众数是2和3。
还有,如果所有数据出现的次数都一样,那么这组数据没有众数。
例如:1,2,3,4,5没有众数。
在高斯分布中,众数位于峰值。

平均数、中位数和众数的特征:

(1)平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。
(2)平均数能充分利用数据提供的信息,在生活中较为常用,但它容易受极端数字的影响,且计算较繁。
(3)中位数的优点是计算简单,受极端数字影响较小,但不能充分利用所有数字的信息。 中位数算出来可避免极端数据,代表着数据总体的中等情况。
(4)众数的可靠性较差,它不受极端数据的影响,求法简便,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。

平均数、中位数和众数异同:
一、相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。

二、不同点
它们之间的区别,主要表现在以下方面。
1、定义不同
平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2、求法不同
平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据个数是奇数,则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
众数:一组数据中出现次数最多的那个数,不必计算就可求出。

3、个数不同
在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性。在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数。

4、呈现不同
平均数:是一个“虚拟”的数,是通过计算得到的,它不是数据中的原始数据。
中位数:是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时,它就是该组数据排序后最中间的那个数据,是这组数据中真实存在的一个数据;但在数据个数为偶数的情况下,中位数是最中间两个数据的平均数,它不一定与这组数据中的某个数据相等,此时的中位数就是一个虚拟的数。
众  数:是一组数据中的原数据 ,它是真实存在的。

5、代表不同
平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同,但都可表示数据的集中趋势,都可作为数据一般水平的代表。

6、特点不同
平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当出现偏大数时,平均数将会被抬高,当出现偏小数时,平均数会降低。
中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。
众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。

7、作用不同
平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。


中位数、众数的求法:
中位数:
①将数据按大小顺序排列;
②当数据个数为奇数时,中间的那个数据就是中位数;
当数据个数为偶数时,居于中间的两个数据的平均数才是中位数。

众数:找出频数最多的数据,若几个数据频数最多且相同,此时众数就是这几个数据。
频数分布直方图的定义:
在统计数据时,按照频数分布表,在平面直角坐标系中,横轴标出每个组的端点,纵轴表示频数,每个矩形的高代表对应的频数,称这样的统计图为频数分布直方图。
相关概念:
组数:在统计数据时,我们把数据按照不同的范围分成几个组,分成的组的个数称为组数。
组距:每一组两个端点的差。

频数分布直方图的特点:
①能够显示各组频数分布的情况;
②易于显示各组之间频数的差别。

作直方图的目的有:
作直方图的目的就是通过观察图的形状,判断生产过程是否稳定,预测生产过程的质量。
1判断一批已加工完毕的产品;
搜集有关数据。
直方图将数据根据差异进行分类,特点是明察秋毫地掌握差异。
2在公路工程质量管理中,作直方图的目的有:
①估算可能出现的不合格率;
②考察工序能力估算法
③判断质量分布状态;
④判断施工能力;


直方图绘制注意事项:
a. 抽取的样本数量过小,将会产生较大误差,可信度低,也就失去了统计的意义。因此,样本数不应少于50个。
b. 组数 k 选用不当,k 偏大或偏小,都会造成对分布状态的判断有误。
c. 直方图一般适用于计量值数据,但在某些情况下也适用于计数值数据,这要看绘制直方图的目的而定。
d. 图形不完整,标注不齐全,直方图上应标注:公差范围线、平均值 的位置(点画线表示)不能与公差中心M相混淆;图的右上角标出:N、S、C p或 CPK.

制作频数分布直方图的方法:
①集中和记录数据,求出其最大值和最小值。数据的数量应在100个以上,在数量不多的情况下,至少也应在50个以上。 我们把分成组的个数称为组数,每一个组的两个端点的差称为组距。
②将数据分成若干组,并做好记号。分组的数量在5-12之间较为适宜。
③计算组距的宽度。用最大值和最小值之差去除组数,求出组距的宽度。
④计算各组的界限位。各组的界限位可以从第一组开始依次计算,第一组的下界为最小值减去最小测定单位的一半,第一组的上界为其下界值加上组距。第二组的下界限位为第一组的上界限值,第二组的下界限值加上组距,就是第二组的上界限位,依此类推。
⑤统计各组数据出现频数,作频数分布表。
⑥作直方图。以组距为底长,以频数为高,作各组的矩形图。

应用步骤:
(1)收集数据。作直方图的数据一般应大于50个。
(2)确定数据的极差(R)。用数据的最大值减去最小值 求得。
(3)确定组距(h)。先确定直方图的组数,然后以此组数去除极差,可得直方图每组的宽度,即组距。组数的确定要适当。组数太少,会引起较大计算误差;组数太多,会影响数据分组规律的明显性,且计算工作量加大。
(4)确定各组的界限值。为避免出现数据值与组界限值重合而造成频数据计算困难,组的界限值单位应取最小测量单位的1/2。分组时应把数据表中最大值和最小值包括在内。
第一组下限值为:最小值-0.5;
第一组上限值为:第一组下限值加组距;
第二组下限值就是第一组的上限值;
第二组上限值就是第二组的下限值加组距;
第三组以后,依此类推定出各组的组界。
(5)编制频数分布表。把多个组上下界限值分别填入频数分布表内,并把数据表中的各个数据列入相应的组,统计各组频数据(f )。
(6)按数据值比例画出横坐标。
(7)按频数值比例画纵坐标。以观测值数目或百分数表示。
(8)画直方图。按纵坐标画出每个长方形的高度,它代表取落在此长方形中的数据数。(注意:每个长方形的宽度都是相等的。)在直方图上应标注出公差范围(T)、样本容量(n)、样本平均值(x)、样本标准偏差值(s)和x的位置等。


条形图定义:
用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的条形,条形的宽度必须保持一致,然后把这些条形排列起来,这样的统计图叫做条形统计图。它可以表示出每个项目的具体数量。

条形图特点:
(1)能够显示每组中的具体数据;
(2)易于比较数据之间的差别。

描绘条形图的3要素:组数、组宽度、组限。
1.组数
把数据分成几组,指导性的经验是将数据分成5~10组。
2.组宽度
通常来说,每组的宽度是一致的。组数和组宽度的选择就不是独立决定的,一个经验标准是:
近似组宽度=(最大值-最小值)/组数
然后根据四舍五入确定初步的近似组宽度,之后根据数据的状况进行调整。
3.组限
分为组下限(进入该组的最小可能数据)和组上限(进入该组的最大可能数据),并且一个数据只能在一个组限内。
绘画条形图时,不同组之间是有空隙的;而绘画直方图时,不同组之间是没有空隙的。

使用条形图的情况:
轴标签过长;
显示的数值是持续型的。


条形图具有下列图表子类型:
簇状条形图和三维簇状条形图  簇状条形图比较各个类别的值。在簇状条形图中,通常沿垂直轴组织类别,而沿水平轴组织数值。三维簇状条形图以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。

堆积条形图和三维堆积条形图  堆积条形图显示单个项目与整体之间的关系。三维堆积条形图以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。

百分比堆积条形图和三维百分比堆积条形图  此类型的图表比较各个类别的每一数值所占总数值的百分比大小。三维百分比堆积条形图表以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。

水平圆柱图、圆锥图和棱锥图  水平圆柱图、圆锥图和棱锥图可以使用为矩形条形图提供的簇状图、堆积图和百分比堆积图,并且它们以完全相同的方式显示和比较数据。唯一的区别是这些图表类型显示圆柱、圆锥和棱锥形状而不是水平矩形。


制作条形图的步骤:
(1)根据统计资料整理数据,一般整理成表格形式;
(2)画出横轴、纵轴,确定它们所表示的项目,选定标尺,按一定比例作为长度单位,长短要适中,根据数据的大小对应标出;
(3)画直条,条形的高与数据的大小成比例。条形的宽度、间隔要一致;
(4)写上统计总标题、制图日期及数量单位。
统计表定义:
是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格。是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式。
统计调查所得来的原始资料,经过整理,得到说明社会现象及其发展过程的数据,把这些数据按一定的顺序排列在表格中,就形成“统计表”。
作用:
①用数量说明研究对象之间的相互关系。
②用数量把研究对象之间的变化规律显著地表示出来。
③用数量把研究对象之间的差别显著地表示出来。这样便于人们用来分析问题和研究问题。

统计表构成及格式:
一般由表头、行标题、列标题和数字资料四个主要部分组成,必要时可以在统计表的下方加上表外附加。
①表头应放在表的上方,它所说明的是统计表的主要内容。
②行标题和列标题通常安排在统计表的第一列和第一行,它所表示的主要是所研究问题的类别名称和指标名称,通常也被称为“类”。
③表外附加通常放在统计表的下方,主要包括资料来源、指标的注释、必要的说明等内容。
结构:
①总标题――概括统计表中全部资料的内容,是表的名称。
②横行标题――表示各组的名称,它说明统计表要说明的对象,是横行的名称。
③纵栏标题――表示汇总项目即统计指标的名称。
④数字资料――是各组、各汇总项目的数值。列在各横行标题与各纵栏标题交叉处,即统计表的右下方。
内容构成:
主词――是说明总体的,它可以是各个总体单位的名称、总体各个分组名称。行式上表现为横行标题。
宾词――是说明总体的指标名称和数值的。形式上表现为纵栏标题和指标数值。

统计表分类:
统计表形式繁简不一,通常是按项目的多少,分为单式统计表与复式统计表两种。只对某一个项目数据进行统计的表格,称为单式统计表,也称之为简单统计表。统计项目在2个或2个以上的统计表格,称之为复式统计表。
1、按作用不同:统计调查表、汇总表、分析表。
2、按分组情况不同:简单表、简单分组表、复合分组表。
①简单表:即不经任何分组,仅按时间或单位进行简单排列的表。
②简单分组表:即仅按一个标志进行分组的表。
③复合分组表:即按两个或两个以上标志进行层叠分组的表。


统计表设计:
由于使用者的目的以及统计数据的特点不同,统计表的设计在形式和结构上会有较大差异,但设计的基本要求是一致的。总体上来说,统计表的设计应符合科学、实用、简练、美观的要求。具体来说设计统计表时要注意以下几点:
1.合理安排统计表的结构。比如行标题、列标题、数字资料的位置应安排合理。
2.表头一般应包括表号、总标题和表中数据的单位等内容。
总标题应简明确切地概括出统计表的内容,一般需要表明统计数据的时间、地点以及何种数据,即标题内容应满足3W(统计数据的时间、地点、何种数据的简称)要求。
3.如果表中的全部数据都是同一计量单位,可放在表的右上角标明,若各指标的计量单位不同,则应放在每个指标后或单列出一列标明。
4.表中的上下两条线一般用粗线,中间的其他线要用细线,这样使人看起来清楚、醒目。
5.在使用统计表时,必要时可在表的下方加上注释,特别要注明资料来源,以表示对他人劳动成果的尊重,方便读者查阅使用。

统计表制作规则:
1、统计表一般为横长方形,上下两端封闭且为粗线,左右两端开口。
2、统计表栏目多时要编号,一般主词部分按甲、乙、丙;宾词部分按(1)(2)等次序编号。
3、统计表总标题应简明扼要,符合表的内容。
4、主词与宾词位置可互换。各栏排列次序应以时间先后、数量大小、空间位置等自然顺序编排。
5、计量单位一般写在表的右上方或总栏标题下方。
6、表内资料需要说明解释部分,如:注解、资料来源等,写在表的下方。
7、填写数字资料不留空格,即在空格处划上斜线。统计表经审核后,制表人和填报单位应签名并盖章,以示负责。


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