本试题 “已知3a=5b=A,且=2,则A的值是[ ]A.15B.C.±D.225” 主要考查您对指数与指数幂的运算(整数、有理、无理)
指数函数的图象与性质
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n次方根的定义:
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*。
分数指数幂的意义:
(1);
(2);
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
n次方根的性质:
(1)0的n次方根是0,即=0(n>1,n∈N*);
(2)=a(n∈N*);
(3)当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|。
幂的运算性质:
(1);
(2);
(3);
注意:一般地,无理数指数幂(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理指数幂都适用。
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1 | a>1 | ||
图像 | |||
图像 | 定义域 | R | |
值域 | (0,+∞) | ||
恒过定点 | 图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1 | ||
单调性 | 在(-∞,+∞)上是减函数 | 在(-∞,+∞)上是增函数 | |
函数值的变化规律 | 当x<0时,y>1 | 当x<0时,0<y<1 | |
当x=0时,y=1 | 当x=0时,y=1 | ||
当x>0时,0<y<1 | 当x>0时,y>1 |
底数对指数函数的影响:
①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
③当a>0,且a≠l时,函数 与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小:
若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
若底数不同而指数相同,用作商法比较;
若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,
指数函数图象的应用:
函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.
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