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首页 高中数学知识 函数的奇偶性、周期性 正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等） 试题正文
  • 单选题
    下列函数中是奇函数的为（　　）
    A．y=x2+cosx，x∈RB．y=|2sinx|，x∈R
    C．y=tanx2，x≠±
    π
    2
    +kπ
    (k∈N)    		D．y=x2sinx，x∈R

    本题信息：数学单选题难度一般 来源:未知
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本试题 “下列函数中是奇函数的为（ ）A．y=x2+cosx，x∈RB．y=|2sinx|，x∈RC．y=tanx2，x≠±π2+kπ(k∈N)D．y=x2sinx，x∈R” 主要考查您对

函数的奇偶性、周期性

正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

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  • 函数的奇偶性、周期性
  • 正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。


奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．


1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|


正切函数的图像：

余切函数的图像：



正切函数的性质：

（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。

余切函数的性质:

（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
（5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性 

 


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