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首页 初中数学知识 实数的比较大小 不等式的性质 试题正文
  • 单选题
    已知实数a、b满足a＜b，则下列式子中正确的是（　　）
    A．
    		a
    ＜
    		b
    		B．b-a＞0C．a2＜b2D．a4＜b4

    本题信息：2006年昭阳区二模数学单选题难度容易 来源:未知
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本试题 “已知实数a、b满足a＜b，则下列式子中正确的是（ ）A．a＜bB．b-a＞0C．a2＜b2D．a4＜b4” 主要考查您对

实数的比较大小

不等式的性质

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 实数的比较大小
  • 不等式的性质
实数的比较大小法则：
正实数都大于0，负实数都小于0；
正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小；
在数轴上，右边的数要比左边的大。

实数比较大小的具体方法：
（1）求差法：
设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据
“当a-b<0时，a<b；当a-b=0时，a=b；当a-b>0时，a>b”来比较a与b的大小。
（2）求商法：
设a，b（b≠0）为任意两个正实数，先求出a与b的商，再根据
“当<1时，a<b；当=1时，a=b；当>1时，a>b”来比较a与b的大小；
当a，b（b≠0）为任意两个负实数时，再根据
“当<1时，a>b；当=1时，a=b；当>1时，a<b” 来比较a与b的大小。
（3）倒数法：
设a，b（a≠0，b≠0）为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据
“当<时，a>b；当>时，a<b。”来比较a与b的大小。
（4）平方法：
比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据
“在a＞0，b＞0时，可由a2>b2 得到a＞b”比较大小。
也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。
还有估算法、近似值法等。
两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
（5）数轴比较法：
实数与数轴上的点一一对应。
利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。
设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。
如图，点A表示数a，点B表示数b。因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.
不等式的性质：
1、不等式的基本性质:
不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b，那么a±c>b±c。
不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。

不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。
2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。
3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。

不等式的性质：
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；
⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）

或者说，不等式的基本性质有：
①对称性；
②传递性：
③加法单调性：即同向不等式可加性：
④乘法单调性：
⑤同向正值不等式可乘性：
⑥正值不等式可乘方：
⑦正值不等式可开方：
⑧倒数法则。


不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：
①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；
②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。

原理：
①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。
④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。


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