本试题 “如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)已知AB=10,BC=6...” 主要考查您对直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)
平行线分线段成比例
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直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)
证明思路:
该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点
法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
AM=DP,AN=DQ
AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN
DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ
又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF
根据比例的性质:
AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
∴AB/BC=DE/EF
法2:过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.
∵ BE∥CF
∴△ABM∽△ACN.
∴AB/AC=AM/AN
∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
∴AB/BC=DE/EF
法3:连结AE、BD、BF、CE
根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE, S△BCE=S△BEF
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:
AB/BC=DE/EF
由更比性质、等比性质得:
AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF
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