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高中一年级数学

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    已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,
    求:(Ⅰ)a的值;
    (Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程。
    本题信息:2011年同步题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,求:(Ⅰ)a的值;(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程。” 主要考查您对

圆的切线方程

直线与圆的位置关系

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  • 圆的切线方程
  • 直线与圆的位置关系

圆的切线方程:

1、已知圆
(1)若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
(2)当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。
(3)过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。
(4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。
2、已知圆
(1)过圆上的点的切线方程为
(2)斜率为k的圆的切线方程为


圆的切线方程的求法:

①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.

过定点的圆的切线方程:

①过圆上一点的切线方程:
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是

②过圆外一点的切线方程:设外一点,求过P0点的圆的切线.
方法l:设切点是,解方程组

求出切点P1的坐标,即可写出切线方程。
方法2:设切线方程是 ,再由 求出待定系数k,就可写出切线方程.
特别提醒:一般说来,方法2比较简便,但应注意,可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.

直线与圆的位置关系

由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
其图像如下:


直线和圆的位置关系的性质:

(1)直线l和⊙O相交d<r
(2)直线l和⊙O相切d=r;
(3)直线l和⊙O相离d>r。


直线与圆位置关系的判定方法:

(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由
 
推出mx2+nx+p=0,利用判别式△进行判断.
△>0则直线与圆相交;
△=0则直线与圆相切;
△<0则直线与圆相离.
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆,圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交;
d=r则直线和圆相切;
d>r则直线和圆相离.
特别提醒:
(1)上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷,而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.
(2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.

直线与圆位置关系的判定方法列表如下:

直线与圆相交的弦长公式:

(1)几何法:如图所示,直线l与圆C相交于A、B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|=

(2)代数法:直线l与圆交于直线l的斜率为k,则有
当直线AB的倾斜角为直角,即斜率不存在时,|AB|=