本试题 “已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(1)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(2)设过点F的直线交椭圆于A、B两点,并且线段AB的中点在直线x+y=...” 主要考查您对圆的标准方程与一般方程
圆的切线方程
直线与椭圆方程的应用
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为。
圆的一般方程:
圆的一般方程
当>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当=0时,表示点;
当<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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圆的切线方程:
1、已知圆,
(1)若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是;
(2)当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。
(3)过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。
(4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。
2、已知圆,
(1)过圆上的点的切线方程为;
(2)斜率为k的圆的切线方程为。
圆的切线方程的求法:
①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.
过定点的圆的切线方程:
①过圆上一点的切线方程:
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
②过圆外一点的切线方程:设外一点,求过P0点的圆的切线.
方法l:设切点是,解方程组
直线与椭圆的方程:
设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),椭圆(a>b>0),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。
椭圆的焦半径、焦点弦和通径:
(1)焦半径公式:
①焦点在x轴上时:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0;
②焦点在y轴上时:|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0;
(2)焦点弦:
过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦.设过椭圆的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2a+e(x1+x2).由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.
(3)通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,其长为
椭圆中焦点三角形的解法:
椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理,解题中,通过变形,使之出现,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,打开解题思路,整体代换求是这类问题中的常用技巧。
关于椭圆的几个重要结论:
(1)弦长公式:
(2)焦点三角形:
上异于长轴端点的点,
(3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
(4)椭圆的切线:处的切线方程为
与“已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(1)求过点O、F,并且与...”考查相似的试题有: