一元二次方程根与系数的关系:如果方程
的两个实数根是
那么
,
。
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
一元二次方程根与系数关系的推论:
1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
提示:
①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
根的判别式:一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b
2-4ac。
定理1 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△>0
方程有两个不等实数根;
定理2 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△=0
方程有两个相等实数根;
定理3 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△<0
方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根
△>0;
定理5 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根
△=0;
定理6 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根
△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b
2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b
2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b
2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用:①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
矩形:
是一种平面图形,矩形的四个角都是直角,同时矩形的对角线相等,而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
矩形的判定:
①定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积:S
矩形=长×宽=ab。
黄金矩形:宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。