本试题 “有以下命题:①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C...” 主要考查您对空间向量的正交分解及其坐标表示
空间共线向量
共面向量
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空间向量的正交分解的定义:
对空间的任意向量,均可分解为不共面的三个向量,使,如果两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示:
在空间直角坐标系O—xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。
空间向量基本定理:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使。
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使。
基底在向量中的应用:
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点:①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量,就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量:
用已知向量表示未知向量,一定要结合图像,可从以下角度如手:
(1)要用基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中,表示为其它向量的和或差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系;
(3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则用减法,如果此向量与一个易求向量共线,可用数乘。
共线向量的定义:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,平行于,记作。
注:当我们说向量、共线(或//)时,表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线。
共线向量的坐标表示:
若,,则。
共线向量定理:
空间任意两个向量、(≠),∥,存在实数λ,使=λ。
推论:
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线。那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
其中向量叫做直线l的方向向量。
如图:
共面向量定义:
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量
说明:空间任意的两向量都是共面的。
共面向量定理:
如果两个向量不共线,与向量共面的条件是存在实数x,y,使。
推论1:
如图,空间中的一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y)使
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