分式的定义：
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
注：
（1）分式的分母中必须含有字母；
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：
①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；
②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；
③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：
（1）分式有意义条件：分母不为0；
（2）分式无意义条件：分母为0；
（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；
（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负 。
分式的区别概念：
分式与分数的区别与联系：
a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；
b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式
无理式和有理式统称代数式

反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数图象的画法：
（1）列表：

（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
（3）连线：用平滑的曲线连接点。
当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用：
过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为
不同象限分比例函数图像：


常见画法：

黄金分割数：
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

黄金分割线:
黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：
一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：
（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即： （1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618

黄金分割点:
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。

无限不循环小数
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）
黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565

黄金分割三角形:
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。

黄金矩形:
若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。

黄金分割线:
由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。

与数列的关系:
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。

分数与根式:
有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
  有限式=无限式
对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。　
这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。

黄金分割法在摄影中的应用：
　　一幅优秀的摄影作品，不仅要有深刻的主题思想和内容，同时还应具备与内容相一致的优美形式和协调的构图。初学摄影，在取景时了解和掌握黄金分割法。对于提高作品美学价值很有帮助。
　  黄金分割法，就是把一条直线段分成两部分，其中一部分对全部的比等于其余一部分对这一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例关系迸引美术设计和摄影构图，这种比例也称黄金律。在摄影构图中，常使用的概略方法，就是在画面上横、竖各画两条与边平行、等分的直线，将画面分成9个相等的方块，称九宫图。直线和横线相交的4个点，称黄金分割点。
　 根据经验，将主体景物安排在黄金分割点附近，能更好地发挥主体景物在图面上的组织作用，有利于周围景物的协调和联系，容易引起美感，产生较好的视觉效果，使主体景物更加鲜明、突出。
  　另外，人们看图片和书刊有个习惯，就是由左向右移动，视线经过运动，往往视点落于右侧，所以在构图时把主要景物、醒目的形象安置在右边，更能收到良好的效果。
　　初学摄影取景，可选选用“黄金分割法”的练习构图，经过多次实践，有了自己的经验和体会以后，就可根据实际情况自己进行创作了。如果都千篇一律，生搬硬套这一种形式，也不可取，时间久了反而会束缚自己的创作思想，使拍出的照片四平八稳，缺乏变化，贫乏无味，就谈不上有什么艺术性。
　　用黄金分割法确定主体的位置，并没有完成构图的整个过程，还应注意安排必要的空间，考虑主体与陪体之间的呼应，充分表达主题的思想内容。同时，还要考虑影调，光线处理，色彩的表现等等。
 　 为了提高基本功，还有很重要的一点，就是要认真学习美学知识，加强美学修养，并通过拍摄实践，不断总结，积累经验，多拍出一些有较高艺术水平的照片来。

发现历史：
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。