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高中三年级数学

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    已知函数f(x)=2x的反函数为y=f-1(x),若f-1(a)+f-1(b)=4,则的最小值为

    [     ]


    A.
    B.
    C.
    D.1
    本题信息:2012年广西自治区月考题数学单选题难度一般 来源:张玲玲
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本试题 “已知函数f(x)=2x的反函数为y=f-1(x),若f-1(a)+f-1(b)=4,则的最小值为[ ]A.B.C.D.1” 主要考查您对

反函数

基本不等式及其应用

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
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定义

设式子y=f(x)表示y是x的函数,定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x=(y)就表示y是x的函数,这样的函数叫做y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),即x=(y)=f-1(y),一般对调x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x)。


反函数的一些性质

(1)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,称为互调性;
(2)定义域上的单调函数必有反函数,且单调性相同(即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同),对连续函数而言,只有单调函数才有反函数,但非连续的非单调函数也可能有反函数;
(3)函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,但要注意:函数y=f(x)的图象与其反函数x=(y)=f-1(y)的图象相同。(对称性)
(4)设y=f(x)与y=g(x)互为反函数,如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上,那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。
(5)函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x),函数y=f-1(x )的反函数是y=f(x),称为互反性,但要特别注意
(6)函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点,当它们是递增时,交点在直线y=x上。当它们递减时,交点可以不在直线y=x上,
互为反函数且有一个交点是,它不再直线y=x上。
(7)还原性:


求反函数的步骤:

(1)将y=f(x)看成方程,解出x=f-1(y);
(2)将x,y互换得y =f-1(x);
(3)写出反函数的定义域(可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定);
另外:分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。


基本不等式:

(当且仅当a=b时取“=”号);
变式:①(当且仅当a=b时取“=”号),即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
;③;④


对基本不等式的理解:

(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的,即,即有
(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等,其中的算术平均数,的几何平均数,本定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件.均值不等式中:①当a=b时取等号,即


对于两个正数x,y,若已知xy,x+y,中的某一个为定值,可求出其余各个的最值:
如:(1)当xy=P(定值),那么当x=y时,和x+y有最小值2
(2)x+y=S(定值),那么当x=y时,积xy有最大值
(3)已知x2+y2=p,则x+y有最大值为

应用基本的不等式解题时:

注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式比较实数大小:

(1)注意均值不等式的前提条件.
(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式.
(3)注意“1”的代换.
(4)灵活变换基本不等式的形式,并注重其变形形式的运用.重要不等式的形式可以是,也可以是,还可以是等,不仅要掌握原来的形式,还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以便应用.
(5)合理配组,反复应用均值不等式。 


基本不等式的几种变形公式: