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    如果f(x0)是函数f(x)的一个极值,称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=(ax-b)e
    a
    x
    (x≠0且a≠0)
    (1)若函数f(x)总存在有两个极值点A,B,求a,b所满足的关系;
    (2)若函数f(x)有两个极值点A,B,且存在a∈R,求A,B在不等式|x|<1表示的区域内时实数b的范围.
    (3)若函数f(x)恰有一个驻点A,且存在a∈R,使A在不等式
    |x|<1
    |y|<e2
    表示的区域内,证明:0≤b<1.
    本题信息:数学解答题难度一般 来源:未知
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本试题 “如果f(x0)是函数f(x)的一个极值,称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=(ax-b)eax(x≠0且a≠0)(1)若函数f(x)总存在有两个...” 主要考查您对

函数的单调性与导数的关系

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  • 函数的单调性与导数的关系

导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。