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首页 高中数学知识 函数的奇偶性、周期性 向量的加、减法运算及几何意义 试题正文
  • 解答题
    已知向量
    a
    =(
    		3
    sin3x ，- y) ， 
    b
    =(m ， cos3x-m)    （m∈R），且
    a
    +
    b
    =
    0
    ．设y=f（x）．
    （1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[
    π
    18
     ， 
    2π
    9
    ]    上图象最低点M的坐标．
    （2）若对任意x∈[0 ， 
    π
    9
    ]    ，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．
    本题信息：2010年浦东新区二模数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知向量a=(3sin3x ，- y) ， b=(m ， cos3x-m)（m∈R），且a+b=0．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[π18 ， 2π9]上图象最低点M的坐标．...” 主要考查您对

函数的奇偶性、周期性

向量的加、减法运算及几何意义

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 函数的奇偶性、周期性
  • 向量的加、减法运算及几何意义

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。


奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．


1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|


向量加法的定义：

已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作，再做向量，则向量叫做与的和，即。
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

向量加法的三角形法则：

已知非零向量a,b，在平面内任意取一点A，作a，，

这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则，如图
 
 
向量加法的平行四边形法则：
 
以同一点O起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．
  

向量减法的定义：

向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：。
作向量减法有“三角形法则”：设，那么，由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

向量减法的作图法：

 
 
  
 因此，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．

坐标运算：

已知，则。


向量加减法的运算律：

（1）交换律：；
（2）结合律：


求向量的和的三角形法则的理解：

使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量，仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。

作两个向量的和向量，可分四步：

①取点，注意取点的任意性；
②作相等向量，分别作与两个已知向量相等的向量，使它们的起点重合；
③作平行四边形，以两个向量为邻边作平行四边形；
④作和向量，与两个向量有共同起点的对角线作为和向量，共同的起点作为和向量的起点，对角线的另一个端点作为和向量的终点．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了．

向量的加法需要说明的几点：

①当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且
②当两个非零向量a与b共线时，
a．向量a与b同向（如下图），即向量a+b与a(或b）方向相同，且
 
b．向量a与b反向（如上图）且|a|<|b|时，即a+b与b方向相同（与a方向相反），且

综上可知

向量减法的理解：

①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法，其实，向量减法的实质是向量加法的逆运算．两个向量的差仍是向量；
②作差向量时，作法一较为复杂，作法二较为简捷，应根据问题的需要灵活运用；
③以为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的，应该加强理解并记住；
④对于任意一点O，简记为“中减起”，在解题中经常用到，必须记住．


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