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高中三年级数学

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    如图,已知椭圆的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线交x轴于点K,左顶点为A。

    (Ⅰ)求证:KF平分∠MKN;
    (Ⅱ)直线AM、AN分别交准线于点P、Q,设直线 MN的倾斜角为,试用表示线段PQ的长度|PQ|,并求|PQ|的最小值。
    本题信息:2010年0103模拟题数学解答题难度较难 来源:张玲玲
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本试题 “如图,已知椭圆的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线交x轴于点K,左顶点为A。(Ⅰ)求证:KF平分∠MKN;(Ⅱ)直线AM、AN分别交准线于点P、...” 主要考查您对

椭圆的定义

直线与椭圆方程的应用

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  • 椭圆的定义
  • 直线与椭圆方程的应用

椭圆的第一定义:

平面内与两个定点为F1,F2的距离的和等于常数(大于)的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地,当常数等于时,轨迹是线段F1F2,当常数小于时,无轨迹。

椭圆的第二定义:

平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹,叫做椭圆,定点F叫椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,e叫椭圆的离心率。


椭圆的定义应该包含几个要素:

 
利用椭圆的定义解题:
 
当题目中出现一点在椭圆上的条件时,注意使用定义

直线与椭圆的方程:

设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),椭圆(a>b>0),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。


椭圆的焦半径、焦点弦和通径:

(1)焦半径公式:
①焦点在x轴上时:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0
②焦点在y轴上时:|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0;
(2)焦点弦:
过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦.设过椭圆的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2a+e(x1+x2).由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.
(3)通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,其长为 

椭圆中焦点三角形的解法:

椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理,解题中,通过变形,使之出现,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,打开解题思路,整体代换求是这类问题中的常用技巧。


关于椭圆的几个重要结论:

(1)弦长公式:

(2)焦点三角形:
上异于长轴端点的点,
(3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
(4)椭圆的切线:处的切线方程为


(5)对于椭圆,我们有
 
 

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