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高中三年级数学

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    若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于
    [     ]

    A.2
    B.3
    C.6
    D.9
    本题信息:2011年福建省高考真题数学单选题难度一般 来源:张玲玲
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本试题 “若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于[ ]A.2B.3C.6D.9” 主要考查您对

函数的极值与导数的关系

基本不等式及其应用

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 函数的极值与导数的关系
  • 基本不等式及其应用

极值的定义:

(1)极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点;
(2)极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。

极值的性质:

(1)极值是一个局部概念,由定义知道,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。


判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若x0满足,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点, 是极值,并且如果在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。

求函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解:

极值是一个新的概念,它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念,在理解极值概念时要注意以下几点:
①按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导).如图

②极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小,如图.
  
③若fx)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
④若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有
限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的,
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点,
   


基本不等式:

(当且仅当a=b时取“=”号);
变式:①(当且仅当a=b时取“=”号),即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
;③;④


对基本不等式的理解:

(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的,即,即有
(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等,其中的算术平均数,的几何平均数,本定理也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件.均值不等式中:①当a=b时取等号,即


对于两个正数x,y,若已知xy,x+y,中的某一个为定值,可求出其余各个的最值:
如:(1)当xy=P(定值),那么当x=y时,和x+y有最小值2
(2)x+y=S(定值),那么当x=y时,积xy有最大值
(3)已知x2+y2=p,则x+y有最大值为

应用基本的不等式解题时:

注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式比较实数大小:

(1)注意均值不等式的前提条件.
(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式.
(3)注意“1”的代换.
(4)灵活变换基本不等式的形式,并注重其变形形式的运用.重要不等式的形式可以是,也可以是,还可以是等,不仅要掌握原来的形式,还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以便应用.
(5)合理配组,反复应用均值不等式。 


基本不等式的几种变形公式: