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    设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(0,
    1
    2
    )
    的距离比点P到x轴的距离大
    1
    2

    (1)求点P的轨迹方程;
    (2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且|AB|=2
    6
    ,求k的值.
    (3)设点P的轨迹是曲线C,点Q(1,y0)是曲线C上的一点,求以Q为切点的曲线C 的切线方程.
    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(2)若...” 主要考查您对

抛物线的定义

圆锥曲线综合

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  • 抛物线的定义
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抛物线的定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线,抛物线的定义也可以说成是:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹.

抛物线中的有关概念:

定义 图形
抛物线的弦、焦点弦 连结抛物线上任意两点的线段,叫做抛物线的弦.
过抛物线焦点的弦,叫做焦点弦
抛物线的通径和焦参数 过焦点且垂直于抛物线的弦叫做抛物线的通径,通径长度的一半叫做抛物线的焦参数
焦点半径 抛物线上一点P和焦点的连线,叫做点P的焦点半径或焦半径
抛物线的焦准距 抛物线的焦点和它的准线间的距离,叫做焦准距,依据定义,显然有KO=OF即焦准距等于通径长的一半,焦准距用常数p表示

抛物线的规律总结:

①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上,否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不再是抛物线;
②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故在一些问题中,二者可以互相转化,这是利用抛物线定义解题的关键.


圆锥曲线的综合问题:

1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法:
(1)寻找合理的不等式,常见有△>0和弦的中点在曲线内部;
(2)所求量可表示为另一变量的函数,求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。


直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)从几何角度来看,直线和圆锥曲线有三种位置关系:相离、相切和相交,相离是直线和圆锥曲线没有公共点,相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点,相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点,并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时,并不一定是相切,如直线与双曲线的渐近线平行时,与双曲线有唯一公共点,但这时直线与双曲线相交;直线平行(重合)于抛物线的对称轴时,与抛物线有唯一公共点,但这时直线与抛物线相交,故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切,也可能是相交,直线与这两种曲线相交,可能有两个交点,也可能有一个交点,从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系,但由位置关系可以确定公共点的个数.
(2)从代数角度来看,可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系.设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
②若
当Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交.
当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切.
当Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式:

若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:
(1)求交点法:把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.
(2)韦达定理法:
不求交点坐标,可用韦达定理求解.若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示.
 


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