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首页 高中数学知识 函数的单调性、最值 正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等） 试题正文
  • 解答题
    已知函数f（x）=x2+2x•tanθ-1，x∈[-1，
    		3
    ]，θ∈(-
    π
    2
    ，
    π
    2
    )    ．
    （1）当θ=-
    π
    6
    时，求函数f（x）的最大值与最小值；
    （2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，
    		3
    ]    上是单调函数．
    本题信息：2002年上海数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知函数f（x）=x2+2x•tanθ-1，x∈[-1，3]，θ∈(-π2，π2)．（1）当θ=-π6时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，3]上是...” 主要考查您对

函数的单调性、最值

正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

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  • 函数的单调性、最值
  • 正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值


判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。


正切函数的图像：

余切函数的图像：



正切函数的性质：

（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。

余切函数的性质:

（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
（5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性 

 


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