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    已知:抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1,-4),
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求该抛物线与坐标轴的交点坐标.
    本题信息:2000年湖州数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知:抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1,-4),(1)求抛物线的解析式;(2)求该抛物线与坐标轴的交点坐标.” 主要考查您对

求二次函数的解析式及二次函数的应用

二次函数与一元二次方程

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  • 求二次函数的解析式及二次函数的应用
  • 二次函数与一元二次方程
求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤:
二次函数
∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
=a(x-x1)(x-x2).
重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
能熟练地运用二次函数解决实际问题。


二次函数的其他表达形式:
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式
y=a(x-x1)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

③三点式
已知二次函数上三个点,(x1,f(x1))(x2,f(x2))(x3,f(x3))
则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a,0)。
Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
点拨:
解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),
∵过点(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1)。
解得a=2,
∴抛物线的解析式为:
y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4。

②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
点拨:
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。

2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
点拨:
解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。
把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。

②典型例题二:
如果a>0,那么当 时,y有最小值且y最小=
如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
点拨:
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例如:
(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.

④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨:
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。


二次函数与一元二次方程的关系:
函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
1、从形式上看:
二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
2、从内容上看:
二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
3、相互关系:
二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

二次函数交点与二次方程根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=


点拨:
①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。


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