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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 概率的基本性质（互斥事件、对立事件） 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 试题正文
  • 解答题
    甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分。
    （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
    （2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）。
    本题信息：2008年山东省高考真题数学解答题难度较难 来源:刘佩
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本试题 “甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，...” 主要考查您对

概率的基本性质（互斥事件、对立事件）

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量的期望与方差

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  • 概率的基本性质（互斥事件、对立事件）
  • 离散型随机变量及其分布列
  • 离散型随机变量的期望与方差

互斥事件：

事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。

对立事件：

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。
注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式：

（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。
（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。


概率的几个基本性质：

（1）概率的取值范围：[0，1].
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。


互斥事件与对立事件的区别和联系：

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。


随机变量：

随着试验结果变化而变化的变量，常用字母ξ，η等来表示随机变量。

离散型随机变量：

所有取值可以一一列出的随机变量；

离散型随机变量的分布列：

如果离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，x3，…，xn，…，而ξ取每一个值xi（i=1，2，3，…）的概率P（ξ＝xi）=pi，以表格的形式表示如下：
 
上表称为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列。


任一随机变量的分布列都具有下列性质：

（1）0≤pi≤1，（i=1，2，3，…）；
（2）p1+p2+p3+…+pn+…=1；
（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。


求离散型随机变量分布列：

(1)先判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列举出来．
(2)明确随机变量X可取哪些值．
(3)求x取每一个值的概率．(4)列成分布列表，


数学期望的定义：

称为ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。

方差的定义：

称为ξ的均方差，简称为方差，叫做随机变量ξ的标准差，记作：。


期望与方差的性质：

（1）；
（2）若η=aξ+b，则；
（3）若，则；
（4）若ξ服从几何分布，则。


求均值（数学期望）的一般步骤：

(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布，若服从，则直接用公式求均值．(2)若不服从特殊的分布，则先求出随机变量的分布列，再利用公式求均值。

方差的求法：

(1)若随机变量X服从二点分布或二项分布，则直接利用方差公式可求．
(2)若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：


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