本试题 “如图,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.(Ⅰ)求∠ADF的度数;(Ⅱ)若AB=AC,求ACBC的值.” 主要考查您对弦切角的性质
与圆有关的比例线段
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弦切角的定义:
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)
如图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
弦切角定理证明:
设圆心为O,连接OC,OB,
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)|
弦切角推论
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等.
弦切角定理的应用:
弦切角定理以及等弧对等角常用来证明角相等,由相似三角形常解决比例线段问题。
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。
割线长定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多,常见的有:
(1)找过渡乘积式证明等积式成立;
(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件;
(3)利用等积式来证明有关线段相等
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理的应用:
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理一样,揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系,这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起,因此在解题中要善于观察图形,对复杂的图形进行分解,找出基本图形和结论,从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中,要注意方程的思想的运用
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