本试题 “定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x1，x1处取得极值且|x1-x2|=4．求：（1）函数f（x）的表达式；（2）若a，...” 主要考查您对函数解析式的求解及其常用方法
函数的单调性与导数的关系
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- 函数解析式的求解及其常用方法
- 函数的单调性与导数的关系
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得
，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域；
②计算导数f′（x）；
③求出f′（x）=0的根；
④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）>0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）<0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。
与“定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（...”考查相似的试题有：
- 设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f...
- 已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k，（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．（2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐...
- 设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（ ）A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2
- 若函数f（x）=alnx-x在区间（0，2）上单调递增，则有（ ）A．a=2B．a≤2C．a≥2D．0＜a≤2
- 已知函数f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝－1，f′(1)＝0，⑴求f(x)；⑵求f(x)的最大值；⑶若x＞0,y＞0,证明：lnx＋lny≤.
- （本题满分16分）设（1）请写出的表达式（不需证明）；（2）求的极值（3）设的最大值为，的最小值为，求的最小值.
- （1）（2005福建卷）已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
- 已知a，b为正实数．（1）若函数f(x)=lnxx，求f（x）的单调区间（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：ab＞ba；（3）求满...
- 已知函数f(x)=kx+1x2+c（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值...
- 已知函数f（x）=ax2+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．（1）试找出a，b的关系式；（2）若函数y=f（x）在x∈(0，12]...