直线的倾斜角的定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。
直线的斜率的定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。
直线斜率的性质:
当时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。
直线倾斜角的理解:
(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;
(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。
直线倾斜角的意义:
①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。
直线斜率的理解:
每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为。
圆的一般方程:
圆的一般方程
当>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当=0时,表示点;
当<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 |
标准方程 |
一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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椭圆的离心率:
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质:
1、顶点:A(a,0),B(-a,0),C(0,b)和D(0,-b)。
2、轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长|AB|=2a,短轴长|CD|=2b,a为长半轴长,b为短半轴长。
3、焦点:F1(-c,0),F2(c,0)。
4、焦距:。
5、离心率:;
离心率对椭圆形状的影响:e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁;e越接近0,c就越接近0,从而b就越大,椭圆就越圆;
6、椭圆的范围和对称性:(a>b>0)中-a≤x≤a,-b≤y≤b,对称中心是原点,对称轴是坐标轴。
。
利用椭圆的几何性质解题:
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程.要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a,b,c表示出来,例如焦点与各顶点所连线段的长,过焦点与长轴垂直的弦长等,这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法:
求最值有两种方法:
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理.此时应充分注意椭圆中x,y的范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义,寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系.
椭圆中离心率的求法:
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a,b,c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a,b,c的关系式,从而求离心率或离心率的取值范围.
双曲线的离心率的定义:
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.
(2)e的范围:e>l.
(3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
渐近线与实轴的夹角也增大。
双曲线的性质:
1、焦点在x轴上:顶点:(a,0),(-a,0);焦点:(c,0),(-c,0);
渐近线方程:或。
2、焦点在y轴上:顶点:(0,-a),(0,a);焦点:(0,c),(0,-c);
渐近线方程:或。
3、轴:x、y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c。
4、离心率;
5、中,取值范围:x≤-a或x≥a,y∈R,对称轴是坐标轴,对称中心是原点。
双曲线的焦半径:
双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径,分别记作
关于双曲线的几个重要结论:
(1)弦长公式(与椭圆弦长公式相同).
(2)焦点三角形:已知
的两个焦点,P为双曲线上一点(异于顶点),
的面积为
在解决与焦点三角形有关的问题时,应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用,还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题.
(3)基础三角形:如图所示,△AOB中,
(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.
(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.
(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切.
(7)双曲线
上一点P(x
0,y
0)处的切线方程是
(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线
,我们有:P(x
0,y
0)在双曲线内部(与焦点共区域)
P(x
0,y
0)在双曲线外部(与焦点不其区域)