本试题 “若对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0,则称a1,a2,…,an为“线性相关”,k1,k2,…,kn分别为a1,a2...” 主要考查您对向量的加、减法运算及几何意义
平面向量的应用
等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
向量加法的定义:
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作,再做向量,则向量叫做与的和,即。
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
向量加法的三角形法则:
已知非零向量a,b,在平面内任意取一点A,作a,,
向量减法的定义:
向量与向量的相反向量的和,叫做向量与向量的差,记作:。
作向量减法有“三角形法则”:设,那么,由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意:此处减向量与被减向量的起点相同。
向量减法的作图法:
坐标运算:
已知,则。
向量加减法的运算律:
(1)交换律:;
(2)结合律:
求向量的和的三角形法则的理解:
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量,仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。
作两个向量的和向量,可分四步:
①取点,注意取点的任意性;
②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;
③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;
④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.
向量的加法需要说明的几点:
①当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
②当两个非零向量a与b共线时,
a.向量a与b同向(如下图),即向量a+b与a(或b)方向相同,且
b.向量a与b反向(如上图)且|a|<|b|时,即a+b与b方向相同(与a方向相反),且
综上可知
向量减法的理解:
①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法,其实,向量减法的实质是向量加法的逆运算.两个向量的差仍是向量;
②作差向量时,作法一较为复杂,作法二较为简捷,应根据问题的需要灵活运用;
③以为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的,应该加强理解并记住;
④对于任意一点O,简记为“中减起”,在解题中经常用到,必须记住.
平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用:
(1)证明线段相等平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义;
(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用到向量共线的条件;
(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件;
1、向量在三角函数中的应用:
(1)以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题;
(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用:
由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的加法相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用:
(1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题;
(2)以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如:距离,夹角等;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。
2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下:
(1)问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
(2)模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型;
(3)求出数学模型的有关解;
(4)将问题的答案转化为相关的物理问题。
与“若对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2...”考查相似的试题有: