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高中三年级数学

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    将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是(    ),若过点(3,0)的直线l和圆C相切,则直线l的斜率为(    )。
    本题信息:2008年湖南省高考真题数学填空题难度一般 来源:刘佩
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本试题 “将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是( ),若过点(3,0)的直线l和圆C相切,则直线l的斜率为( )。” 主要考查您对

直线的倾斜角与斜率

圆的标准方程与一般方程

圆的切线方程

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  • 直线的倾斜角与斜率
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  • 圆的切线方程

直线的倾斜角的定义:

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

直线的斜率的定义:

倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。


直线斜率的性质:

时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。


直线倾斜角的理解:

(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;

(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。

直线倾斜角的意义:

①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。

直线斜率的理解:

每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。


圆的定义:

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。

圆的标准方程:

圆的标准方程,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为

圆的一般方程:

圆的一般方程
>0时,表示圆心在,半径为的圆;
=0时,表示点
<0时,不表示任何图形。


圆的定义的理解:

(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.

圆的方程的理解:

(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.


几种特殊位置的圆的方程:

条件 标准方程 一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点

圆的切线方程:

1、已知圆
(1)若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
(2)当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。
(3)过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。
(4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。
2、已知圆
(1)过圆上的点的切线方程为
(2)斜率为k的圆的切线方程为


圆的切线方程的求法:

①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.

过定点的圆的切线方程:

①过圆上一点的切线方程:
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是
与圆的切线方程是

②过圆外一点的切线方程:设外一点,求过P0点的圆的切线.
方法l:设切点是,解方程组

求出切点P1的坐标,即可写出切线方程。
方法2:设切线方程是 ,再由 求出待定系数k,就可写出切线方程.
特别提醒:一般说来,方法2比较简便,但应注意,可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.