本试题 “已知f(x)=2x2﹣2x,则在下列区间中,方程f(x)=0有实数解的是[ ]A.(﹣3,﹣2)B.(﹣1,0)C.(2,3)D.(4,5)” 主要考查您对指数函数的图象与性质
函数零点的判定定理
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指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1 | a>1 | ||
图像 | |||
图像 | 定义域 | R | |
值域 | (0,+∞) | ||
恒过定点 | 图像恒过定点(0,1),即当x等于0时,y=1 | ||
单调性 | 在(-∞,+∞)上是减函数 | 在(-∞,+∞)上是增函数 | |
函数值的变化规律 | 当x<0时,y>1 | 当x<0时,0<y<1 | |
当x=0时,y=1 | 当x=0时,y=1 | ||
当x>0时,0<y<1 | 当x>0时,y>1 |
底数对指数函数的影响:
①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
③当a>0,且a≠l时,函数 与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小:
若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
若底数不同而指数相同,用作商法比较;
若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值,
指数函数图象的应用:
函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象上一览无余.数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用指数函数的图象,可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.
函数零点存在性定理:
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<o,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是f(x)=0的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一.
(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.
(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法:
(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
与“已知f(x)=2x2﹣2x,则在下列区间中,方程f(x)=0有实数解...”考查相似的试题有: