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高中三年级数学

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    已知函数f(x)=和图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5。
    (1)求实数b,c的值;
    (2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值;
    (3)若函数y=f(x)图象上存在两点P,Q,使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,求点P的横坐标的取值范围。

    本题信息:数学解答题难度较难 来源:未知
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本试题 “已知函数f(x)=和图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5。(1)求实数b,c的值;(2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值;(3)若...” 主要考查您对

函数的单调性与导数的关系

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  • 函数的单调性与导数的关系

导数和函数的单调性的关系:

(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。


利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

①确定f(x)的定义域;
②计算导数f′(x);
③求出f′(x)=0的根;
④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 


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