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高中三年级数学

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首页 高中三年级数学知识 用二分法求函数零点的近似值 函数的最值与导数的关系 试题正文
  • 解答题
    已知函数f（x）=a|x|+（a＞0，a≠1）。
    （1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
    （2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关，试求a的取值范围。
    本题信息：2012年浙江省模拟题数学解答题难度极难 来源:叶新丽
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本试题 “已知函数f（x）=a|x|+（a＞0，a≠1）。（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞）...” 主要考查您对

用二分法求函数零点的近似值

函数的最值与导数的关系

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  • 用二分法求函数零点的近似值
  • 函数的最值与导数的关系

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x1；
（3）计算f（x1），
①若f（x1）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））；
③若f（x1）·f（b）＜0，则令a=x1（此时零点x0∈（x1，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。


利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。


 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x0，则a<x0<b，作出数轴，在数轴上标出a，b，x0对应的点，如图，所以0<x0-a<b-a，a一b<x0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x0 -a|<b-a<ε，|x0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε
    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.


函数的最大值和最小值：

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。


利用导数求函数的最值步骤：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

 用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。 


生活中的优化问题：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

 (1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
 (2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
  ①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
  (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．


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