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首页 高中数学知识 等比数列的定义及性质 直线与圆的位置关系 试题正文
  • 填空题
    在直角坐标系xoy中，⊙O与直线x-
    		3
    y=4    相切，与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，则
    PA
    •
    PB
    的取值范围是______．
    本题信息：2007年崇明县一模数学填空题难度一般 来源:未知
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本试题 “在直角坐标系xoy中，⊙O与直线x-3y=4相切，与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，则PA•PB的取值范围是______．” 主要考查您对

等比数列的定义及性质

直线与圆的位置关系

等考点的理解。关于这些考点您可以点击下面的选项卡查看详细档案。
  • 等比数列的定义及性质
  • 直线与圆的位置关系

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。


等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。


等差数列和等比数列的比较：
 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。


直线与圆的位置关系：

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
其图像如下：


直线和圆的位置关系的性质：

（1）直线l和⊙O相交d＜r
（2）直线l和⊙O相切d=r；
（3）直线l和⊙O相离d＞r。


直线与圆位置关系的判定方法：

(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由
 
推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．
△>0则直线与圆相交；
△=0则直线与圆相切；
△<0则直线与圆相离．
(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离
d<r则直线和圆相交；
d=r则直线和圆相切；
d>r则直线和圆相离．
特别提醒:
(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．
(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.

直线与圆位置关系的判定方法列表如下：

直线与圆相交的弦长公式：

（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长。
设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|=

（2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有
当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=


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