一元二次方程根与系数的关系:如果方程
的两个实数根是
那么
,
。
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
一元二次方程根与系数关系的推论:
1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
提示:
①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
根的判别式:一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b
2-4ac。
定理1 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△>0
方程有两个不等实数根;
定理2 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△=0
方程有两个相等实数根;
定理3 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,△<0
方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根
△>0;
定理5 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根
△=0;
定理6 ax
2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根
△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b
2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b
2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b
2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用:①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线
(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
定义:
一般地,如果
(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数
(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,
变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
③二次函数
(a≠0)与一元二次方程
(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:
(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:
(a,h,k是常数,a≠0)
(3)当抛物线
与x轴有交点时,即对应二次好方程
有实根x
1和x
2存在时,根据二次三项式的分解因式
,二次函数
可转化为两根式
。如果没有交点,则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征:①函数的关系式是整式;
②自变量的最高次数是2;
③二次项系数不等于零。
二次函数的判定:
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
当b=0,c=0时,y=ax
2是特殊的二次函数;
判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成
(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。